引言：
在数学的浩瀚星空中，实数如繁星般闪烁，其中有理数与无理数如同两条泾渭分明的河流。有理数，可以精确地表示为两个整数之比，而无理数则以其无法被分数表达的神秘面纱，长期以来困扰着数学家们。尽管我们对它们的定义早已熟稔于心，但要证明一个数究竟是“有理”还是“无理”，却是一项极具挑战的任务。近日，由三位数学家组成的团队，包括华人数学家唐云清，提出了一种全新的、更具普适性的方法，为这一古老难题带来了突破性的进展。这一发现不仅弥补了数学大师欧拉和黎曼的遗憾，也为未来的数论研究开启了新的篇章。
主体：
一段尘封的历史：阿培里的“奇迹”与挑战
1978年，在法国马赛举行的一场数学会议上，一位名叫罗杰·阿培里（Roger Apéry）的数学家，以一种近乎“横空出世”的方式，证明了著名的数学常数 ζ(3)（黎曼zeta函数在3处的值）的无理性。阿培里的证明过程充满了神秘色彩，他所展示的公式如同天外来客，令在场的数学家们困惑不已。尽管如此，他的结论最终被证实是正确的，但其方法的独特性和难以理解性，使得这一成果在很长一段时间内被视为一个孤立的“奇迹”。
新方法：从“奇迹”到“普遍”
多年来，数学家们一直试图将阿培里的方法推广到其他无理数的证明中，但收效甚微。直到最近，由芝加哥大学的数论教授Frank Calegari、加州理工学院的数学教授Vesselin Dimitrov，以及加州大学伯克利分校的助理教授、2022年拉马努金奖得主唐云清组成的团队，成功地将阿培里的方法纳入了一个更广泛的框架。
唐云清，这位毕业于北京大学数学科学学院，并在哈佛大学取得博士学位的华人女数学家，在这一研究中扮演了至关重要的角色。她与两位同事一道，不仅证明了无限多个类似zeta函数值的无理性，更重要的是，他们揭示了阿培里证明背后的深层机制，使得这一方法不再是“奇迹”，而成为一种可以普遍应用的工具。
新方法的意义与影响
这一突破性的发现，被巴黎-萨克雷大学的Jean-Benoît Bost誉为“数论领域的一个明显突破”。它不仅为证明无理数提供了新的思路，也为解决数论中其他长期存在的难题带来了希望。数学家们兴奋的不仅是这些结果，还有研究者的方法。他们在2021年用这种方法解决了一个已有50年历史的猜想，该猜想与数论中所谓的模形式（modular forms）有关。
巴黎高等师范学院的François Charles表示：“也许现在我们已有足够的工具，可以将这类主题推进到比以前认为可能的更远的地方，这是一个非常令人兴奋的时期。”
多伦多大学的Daniel Litt则乐观地认为：“希望我们很快就会看到相关无理性证明的淘金热。”
结论：
从毕达哥拉斯学派对无理数的震惊，到阿培里的“奇迹”证明，再到如今唐云清及其团队的突破性进展，无理数的证明之路充满了挑战和惊喜。这一新的方法不仅弥补了欧拉和黎曼等数学大师的遗憾，也为我们揭示了数学世界中更深层次的奥秘。未来，随着这一方法的不断完善和应用，我们有理由相信，更多的无理数将被证明，数学的边界也将被进一步拓展。
参考文献：
- Klarreich, E. (2025, January 8). Rational or Not, This Basic Math Question Took Decades to Answer. Quanta Magazine. https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/
- Calegari, F., Dimitrov, V., & Tang, Y. (2024). A new approach to irrationality proofs. arXiv preprint arXiv:2408.15403. https://arxiv.org/pdf/2408.15403
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