理所当然也能错：数学界震动，“上下铺猜想”被证伪
现代数学，开始对你的直觉开刀了。
数学的很大一部分是由直觉驱动的，但有时想当然会让人误入歧途。早期的证据可能并不代表大局，一个陈述可能看起来很明显，但一些隐藏的微妙之处会自行显露出来。三位数学家现在已经证明，概率论中一个著名的假设，即双层床猜想（bunkbed conjecture）就属于这一类。
这个猜想——关于当数学迷宫（称为图、graphs）像双层床一样堆叠在一起时，你可以用不同的方式导航——这似乎是自然的，甚至是不言而喻的。「我们的大脑告诉我们的任何事情都表明，这个猜想应该是正确的，」普林斯顿大学图论学家 Maria Chudnovsky 说道。
但这就是错误的。上个月，三位数学家宣布了一个反例，反驳了这一猜想。这一结果为解决固体材料性质相关物理问题提供了新的指导。但它也涉及了关于数学如何运作的更深层次的问题。
大量的数学努力都花在试图证明猜想是正确的上。这项新工作的团队在最终找到反例之前失败了很多次。他们的故事表明，数学家可能需要更频繁地质疑他们的假设。
图中之图
在 1985 年，一位名叫 Pieter Kasteleyn 的荷兰物理学家想要用数学方法证明液体如何在多孔固体中流动。他的工作使他提出了双层床猜想。
要理解这个理论，我们先从一张图开始：一组由线或边连接的点或顶点。现在复制一份该图并将其直接放在原图上方。在它们之间画一些垂直柱子——将底部图上的一些顶点与顶部图上的孪生顶点连接起来的附加边。最终得到的结构类似于双层床。
接下来，我们考虑底部图中的一条边，开始抛硬币。如果硬币正面朝上，则擦除边。如果硬币反面朝上，则保留边。对两个图中的每条边重复此过程。你的下铺和上铺最终看起来会有所不同，但它们仍将通过垂直柱子连接起来。
最后，在下部图中选取两个顶点。你能沿着图的边缘从一个顶点到达另一个顶点吗？还是说这两个顶点现在断开了？对于任何图，你都可以计算出存在路径的概率。
现在看看同样的两个顶点，但对于其中一个顶点，跳转到顶部图中它正上方的顶点。是否有一条路径可以带你从底部图上的起始顶点到达顶部图上的终止顶点？
双层床猜想认为，找到下铺路径的概率总是大于或等于找到跳到上铺路径的概率。无论你从哪个图开始，在双层床之间画多少个垂直柱子，或者选择哪个起始和结束顶点，都无关紧要。
看起来很合理是吧，这难道还能证伪吗？几十年来，数学家们一直认为这是成立的。直觉告诉我们，在一个铺位上寻路应该比去另一个铺位的路径更简单——从下铺到上铺所需的额外垂直跳跃应该会大大限制可用路径的数量。
数学家们希望双层床猜想是真的。它属于渗透理论领域的一类陈述，该理论处理在随机删除图的边后存在的路径和簇。这些图可以被认为是流体如何移动或渗透通过多孔材料的简化模型，就像水通过海绵一样。
双层床猜想则暗示了物理学中一个被广泛接受的假设，即流体穿过固体的可能性。它还暗示了如何解决渗透物理学的相关问题。但只有当有人能证明双层床猜想是正确的时候，这种情况才会发生。
没有人能证明这一点是有原因的。
加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学家 Igor Pak 一直怀疑双层床猜想是否正确。「他从一开始就持怀疑态度，」他的一名研究生 Nikita Gladkov 说道。「他非常不相信旧猜想。」Pak 一直直言不讳地批评数学家们倾向于集中精力证明这些猜想。同样重要的进步也可以来自设问「如果它们全都错了怎么办？」
Igor Pak 怀疑双层床猜想还有一个特别的理由：它似乎是一个过于宽泛的说法。他怀疑这个猜想是否真的适用于所有可以想象的图。有些猜想是由实质驱动的，有些则是由一厢情愿的想法驱动的，双层床猜想似乎是后者。
Nikita Gladkov 对每个图表进行了详尽的强力搜索，以寻找反例。2022 年，他开始寻求反驳这一理论。他花了一年时间尝试，但都以失败告终。
然后，他指示 Gladkov 使用计算机对他能找到的每一张图进行详尽的强力搜索。Gladkov 意识到这项任务需要一些复杂的编程，于是请来了高中时就认识的朋友 Aleksandr Zimin（现在他是麻省理工学院的在读博士）。「我们实际上是大学时的室友——我们的宿舍里有一张真正的双层床，」Gladkov 说道。
Gladkov、Pak 和 Zimin 能够手动挨个检查每个少于九个顶点的可能图。在这些情况下，他们可以验证上下铺猜想成立。但对于更大的图，可能情况的数量将会急剧增加，以至于他们无法穷尽所有可能的边删除方式或路径形成方式。
团队随后转向 AI 领域，使用机器学习方法。他们训练了一个神经网络来生成可能偏好向上跳跃的曲折路径图。在模型生成的许多示例中，他们发现下铺路径仅比上铺路径的概率略高一点。但模型未能找到任何反过来的例子。
还有另一个问题出现了：神经网络生成的每个图仍然很大，以至于数学家们无法逐一调查掷硬币步骤的所有可能结果。团队不得不计算在这些结果的子集上找到上下路径的概率，就像民意调查通过抽样部分选民来预测选举结果一样。
数学家们意识到，他们可以对神经网络提供的任何反例有超过 99.99% 的信心确认其是正确的，但却无法达到 100%。他们开始怀疑这种方法是否值得继续追求。这样的证明方式不太可能说服数学界，更不用说任何权威期刊会将其视为严谨的证明了。
「博士生在现实中需要找工作，而不是理论上，」Pak在他的博客上写道，而 Gladkov 和 Zimin 很快也将开始找工作。「这才是他们最终找到反例的关键。」
证明的意义
这个反例的发现不仅证明了双层床猜想是错误的，更重要的是它揭示了数学研究中直觉和严谨性之间的微妙关系。
数学家们往往会依赖直觉来指导他们的研究，但有时直觉可能会误导他们。这个反例提醒我们，即使是看起来最明显、最直观的猜想也需要经过严格的证明才能被接受。
这个发现也为渗透理论的研究提供了新的方向。由于双层床猜想被证伪，研究人员需要重新思考流体穿过固体的可能性，以及如何解决渗透物理学的相关问题。
这个发现也为数学家们提供了宝贵的经验教训。它表明，在数学研究中，质疑假设、探索反例、使用新的工具和方法都是至关重要的。
这个反例的发现，不仅是一次数学上的突破，更是一次对数学思维方式的反思。它提醒我们，数学世界充满了未知，而探索这些未知，需要我们保持开放的心态，不断挑战自己的直觉，用严谨的逻辑和科学的方法来验证我们的猜想。
参考文献：
作者： [你的名字]，资深新闻记者和编辑，曾供职于新华社、人民日报、中央电视台、华尔街日报、纽约时报等媒体。
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