高中生发现勾股定理十种新证明，陶哲轩点赞论文登上期刊
几千年过去了，勾股定理还能有新发现？而且还是被两个高中生发现的？
这个看似简单的初中二年级数学知识，在学术领域居然有了新发展。本周二，UCLA 数学终身教授、菲尔兹奖得主陶哲轩在社交网络上的一番点赞引起了人们的兴趣。陶哲轩表示，这是一篇有趣的论文，在简单探讨了两种证明是否算是同一种证明的话题之后，他提醒我们：即使是最古老和最完善的数学基础知识，有时也可以从新的角度重新审视。
两位高中生 Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson 究竟是如何做到的呢？
故事要从 2022 年讲起，那年美国高中生 Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson 在回答数学竞赛的一道加分题时，发现了一种证明几千年历史勾股定理的新方法，令老师们赞叹不已。这仅仅是个开始。她们写道：「在 500 美元奖金的激励下，我们决定独立承担这项任务。事实证明，这比我们最初想象的要难得多。为了得出一个证明，我们每个人都花了很多个漫长的夜晚，但都失败了。经过大约一个月的脑力劳动，我们每个人都完成并提交了我们的工作。我们高中的数学志愿老师 Rich 先生认为我们的证明足够新颖，可以在数学会议上发表。我们当时对自己的工作都没有那么自信，但我们还是决定继续下去。」
在接下来的两到三个月里，她们把所有的空闲时间都花在完善这些证明上。最终，她们获得了成功。她们所在的学校，新奥尔良圣玛丽学院的一名志愿者鼓励她们将这个成果提交给专业会议。到 2023 年 3 月，她们成为在亚特兰大举行的美国数学学会东南分会会议上发言的最年轻的人。她们表示：「令我们惊讶的是，我们的高中作业得到了认真对待，我们获准在 2023 年 3 月的美国数学学会东南分会会议上发言。作为会上最年轻的人和最年轻的演讲者，我们很害怕，但我们知道这是我们之前所有努力的结晶，这给了我们发言的信心。」
如今，去年开始上大学的 Jackson 和 Johnson又取得了另一项成就：它们已经完成了一篇详细介绍该方法证明的学术论文，新工作于周一发表在科学期刊《美国数学月刊》上。
论文标题：Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem
论文链接：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#abstract
Calcea Johnson 目前在路易斯安那州立大学读环境工程专业，Ne’Kiya Jackson 正在路易斯安那泽维尔大学攻读药学博士学位。
与多年来历代数学家使用代数、几何方式解释勾股定理的方式不同，Johnson 和 Jackson 使用三角学来证明它 —— 一个专注于三角形研究的数学分支。专家认为 Johnson 和 Jackson 的方法极其具有挑战性，因为三角学作为一个领域本质上是基于勾股定理（毕达哥拉斯定理）的。那么使用三角函数来证明该定理通常需要数学家所说的「循环论证」。然而根据新的研究，证明并不是循环的。
「我们在证明中使用的定理…… 都没有假设毕达哥拉斯定理是正确的，」作者在论文中写道。
英国布里斯托大学数学学院名誉教授 Tom Murdoch 称这项研究令人印象深刻，「我认为这项研究的有趣之处在于，很多人认为这是不可能的。」
三角函数基于正弦和余弦，它们表示为直角三角形某些长度的比率。很容易陷入循环论证，而这项研究的吸引力在于，他们找到了一条使用正弦和余弦的论证路线，同时并不假设毕达哥拉斯定理是正确的。
Johnson 和 Jackson 在研究中概述了使用三角学证明该定理的五种新方法，他们的方法揭示了另外五种证明，总共十种。两人在 2023 年的会议上只展示了其中一种证明，在新论文中，还有九种是全新的。
这里我们重点来看看她们给出的五种证明以及她们发现这些证明方式的思路，更多详情可访问原论文。
勾股定理的五种证明
由于前面已经证明了等腰直角三角形的勾股定理，因此在下面五个证明的前四个中，会假设 ABC 是一个非等腰直角三角形，其中 𝑎\u003c𝑏，也就等价于 𝛼\u003c45°\u003c𝛽。根据 [引用1] 的严格要求，下面每个证明都将从直角三角形的图形开始。
第一种证明
在第一个证明中，他们首先是沿 △𝐴𝐵𝐶 的 AC 边进行翻折，得到一个等腰三角形 𝐴𝐵𝐵′。现在，如图 8 所示，基于 𝐴𝐵𝐵′ 构建一个直角三角形 𝐴𝐵′𝐷，其中直角在 𝐵′ 处。然后在 △𝐵′𝐵𝐷 中填充逐步变小的 △𝐴𝐵𝐶 的相似三角形。
[图片：图 8]
由于𝐵𝐵′ 的长度为 2a，并且是 △𝐵′𝐸𝐵 的较长直角边，因此边的比值 a : b : c 表明较短直角边 BE 的长度为
但 BE 是 △𝐵𝐹𝐸 的较长直角边，因此 △𝐵𝐹𝐸 的斜边 BF 的长度为
根据构造，每个三角形的较短直角边也是下一个三角形的较长直角边，这意味着连续三角形的比率为
第二种证明
第三种证明
第四种证明
第五种证明
结论
两位高中生 Ne’Kiya Jackson 和 Calcea Johnson 的发现证明了即使是像勾股定理这样古老而基础的数学定理，也仍然存在着新的探索空间。她们的创新证明方法不仅为数学领域带来了新的视角，也鼓励了更多年轻人对数学的兴趣和探索。
参考文献
[1] 论文链接
致谢：
感谢机器之心提供的信息，以及所有为本文提供帮助的人。
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