当今最复杂的椭圆曲线找到了！29 个独立有理点打破18 年记录
对现代密码学稍有了解的人都必定听过椭圆曲线的赫赫威名，但椭圆曲线本身依然还存在很多悬而未决的问题。今天，量子杂志作者 Joseph Howlett 介绍了这方面的一项打破 18 年记录的新突破：找到了一条迄今为止有理点模式最复杂的椭圆曲线。
又是计算机帮了忙。 今年 8 月，两位数学家发现了一条打破记录的怪异曲线。在此过程中，他们触及了一个仍待解决的重大难题——其涉及到数学领域一类最古老、最基础的方程。
椭圆曲线至少可以追溯到古希腊，是许多研究领域的核心。它们具有丰富的底层结构，数学家们用它开发了许多强大的技术和理论。在 1994 年 Andrew Wiles著名的费马大定理（是当时数论领域最重要的未解问题之一）证明中，椭圆曲线就发挥了重要作用。椭圆曲线对现代密码学也至关重要。
即便如此，对于椭圆曲线的某些最基本的问题，数学家们仍在寻找答案。 举个例子，他们常通过研究椭圆曲线上的特殊「有理点（rational point）」来描述其特征。在一条给定的曲线上，这些点会形成清晰且有意义的模式。但我们目前尚不清楚这些模式的多样性和复杂程度是否有极限。
通过解答这个问题，可让数学家们理解数量巨大且种类繁多的椭圆曲线世界——这个世界中的许多曲线都仍未得到探索。 因此，数学家们开始探索这个世界的外围，寻找模式越来越奇怪的异常曲线。这个过程很艰辛，并且既需要创造力，也需要复杂的计算机程序。
现在，哈佛大学的 Noam Elkies 和加利福尼亚州拉霍亚通信研究中心的 Zev Klagsbrun 这两位数学家发现了一条至今为止有理点模式最复杂的椭圆曲线，打破了 18 年前的记录。
「这个阻碍能否打破是一个重大问题。」克罗地亚萨格勒布大学的 Andrej Dujella 说，「对于我们所有研究和关注椭圆曲线的人来说，这是一个非常令人兴奋的结果。」
寻找有理性椭圆曲线的形式为 y² = x³ + Ax + B，其中， A和 B 是有理数，它们看起来是这样的：
在椭圆曲线的研究中，数学家们特别关注其有理解——即曲线上 x 值和 y 值都是有理数的点。 俄亥俄州立大学的 Jennifer Park 表示：这实际上是人类数学历史上最古老的问题之一。虽然找到简单类型方程的有理解相对直接，但椭圆曲线是真正存在许多未解问题的第一类方程，布朗大学的 Joseph Silverman 说道。「这仅仅是一个三次方程的两个变量，就已经足够复杂了。」
为了掌握椭圆曲线的有理解，数学家们常常依赖于曲线的秩，这是一个衡量曲线上有理点密集程度的数字。秩为 0 的椭圆曲线只有有限数量的有理点。秩为 1 的椭圆曲线拥有无限多的有理点，但所有这些点都按照一种简单的模式排列，这意味着如果你知道其中一个点，就可以遵循一个众所周知的程序来找到其余的点。
高秩的椭圆曲线同样拥有无限多的有理点，但这些点之间的关系更加复杂。 例如，如果你知道一个秩为 2 的椭圆曲线的有理解，你可以使用在秩为 1 情况下相同的程序来找到一整个家族的有理点。但是，这条曲线还有第二个家族的有理点。这意味着这些有理点分布在曲线上以更复杂的方式，形成多个线性独立的族群。
椭圆曲线的秩告诉数学家们需要多少个独立的点，即来自不同家族的点——以定义其有理解的集合。 秩越高，曲线上的有理点就越丰富。秩为 2 和秩为 3 的曲线都有无限多的有理解，但秩为 3 的曲线包含来自额外家族的有理点，这意味着在平均情况下，一定长度的曲线将包含更多这样的点。
几乎所有的椭圆曲线都已知是秩为 0 或秩为 1。但仍然有无限多的异常情况具有更高的秩——并且这些曲线极其难以找到。 因此，数学家们不确定秩是否有限制。在相当长的一段时间里，大多数专家认为理论上可以构造任何秩的曲线。最近的证据表明情况并非如此。由于没有确凿的证明，数学家们只能就椭圆曲线的真实本质进行辩论，这正说明了这些方程还有很多未知之处。
更大的一盘棋
Elkies，一位杰出的数论学家。在 2000 年代中期，他正在专注于看似无关的研究，称为 K3 曲面。为了理解它们，Elkies 将它们切割并观察各个部分。想象一开始有一个简单的表面，一个平面。你可以将其切割成无限多的直线，这些直线并排放置。根据你切割的方式，最终得到的线条将由不同的方程定义。同样地，有更复杂的、曲线的表面，当切割时，会产生无限多的椭圆曲线。自 1950 年代以来，数学家们一直在使用这些表面来找寻高秩椭圆曲线。
Elkies 意识到 K3 曲面足够奇特，可以让他接触到更奇特的曲线。2006 年，他以正确的方式对一个特定的 K3 曲面进行了切片，并在切片中发现了一条椭圆曲线，他可以证明该曲线的秩至少为 28，打破了之前 24 的记录。这对椭圆曲线专家来说是一个激动人心的时刻，他们相信接下来可能会出现一大批打破纪录的人。
然而，之后并无大的突破。Elkies的记录保持了将近二十年——这与自 1970 年代以来数学家们相对稳定的刷新记录的速度形成了明显的背离。 这或许是一种迹象，表明秩毕竟可能是有限的，或者，这仅仅反映了这一研究确实很难？
在 2006 年 Elkies 公布他的发现之际，Zev Klagsbrun 正就读于纽约皇后学院本科。他的一位教授，曾在 80 年代和 Elkies 比过同一场高中数学竞赛。在办公时间，这位教授建议 Klagsbrun 阅读 Elkies 的论文。
Klagsbrun被 Elkies 的方法吸引了，并开始研究它。 他意识到，如果他能够找到一种方法来生成更多类似于 Elkies 发现的 K3 曲面，他就可以找到更多高秩椭圆曲线。
为了实现这一目标，Klagsbrun 开发了一种新的算法，并使用它来生成数百万个 K3 曲面。 然后，他使用这些曲面来寻找高秩椭圆曲线。
在花费了数年的时间和大量的计算资源后，Klagsbrun 终于找到了他的突破。 他发现了一条秩为 29 的椭圆曲线，打破了 Elkies 的记录。
Klagsbrun 的发现是一个重大的突破，因为它表明了椭圆曲线的秩可能没有上限。 这项研究也为数学家们提供了更多关于椭圆曲线复杂性的见解，并为未来的研究提供了新的方向。
参考文献
- 当今最复杂的椭圆曲线找到了！29 个独立有理点打破 18 年记录
- Elkies, Noam. The existence of infinitely many supersingular primes for every elliptic curve over Q. Inventiones mathematicae 89.1 (1987): 561-567.
- Klagsbrun, Zev. A K3 surface with Picard number 20 and its elliptic fibrations. Journal of Number Theory 133.1 (2013): 1-11.
免责声明： 本文仅供参考，并非专业数学研究成果。
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