132 年未解之谜：AI 攻克李雅普诺夫函数难题
牛顿没解决的问题，AI 给你解决了？
人工智能的推理能力一直是研究的焦点。作为最纯粹、要求最高的推理形式之一，能否解决高级的数学问题，无疑是衡量语言模型推理水平的一把尺。近年来，我们见证了 AI 在数学领域取得的突破性进展，例如谷歌 DeepMind 的 AI 在国际数学奥林匹克竞赛中险些夺得金牌，陶哲轩也频繁更新动态，表明 AI 工具正在帮助数学家解决困扰他们几个世纪的难题，如“纽结理论”和“海狸难题”。然而，这些成果大多需要数学家进行大量的前期工作，对于没有已知通用解法的开放性问题，AI 仍然是一个“小白”。
最近，Meta 和巴黎理工学院的研究人员共同探讨了一个困扰数学界长达132 年的问题：李雅普诺夫函数。 这项研究成果已入选 NeurIPS 2024，论文标题为“Global Lyapunov functions: a long-standing open problem in mathematics, with symbolic transformers”。
李雅普诺夫函数是判断一个动力系统是否稳定的关键。 它就像一个“能量函数”，如果系统随着时间的推移，函数值不断下降，最终趋于稳定，那么该系统就是稳定的。然而，寻找李雅普诺夫函数一直是数学界的难题，因为没有已知的方法可以推导出一般情况下的李雅普诺夫函数，而且只有极少系统的李雅普诺夫函数解被发现。
这项研究的突破在于，研究人员利用了一种名为“符号 Transformer”的 AI 模型，成功地解决了李雅普诺夫函数问题。 他们通过从随机采样的李雅普诺夫函数生成训练数据，训练了一个序列到序列的 Transformer 模型。该模型在 held-out 测试集上达到了近乎完美的准确率（99%），在分布外测试集上也取得了非常高的性能（73%）。
这项研究的意义在于，它证明了 AI 可以帮助解决数学研究层面的问题，为数学家提供可能解决方案的猜测。 尽管 AI 模型的内部机制是一个“黑箱”，但它提出的解决方案是明确的，其数学正确性可以得到验证。
三体问题与李雅普诺夫函数
三体问题是经典力学中最著名的未解问题之一。牛顿提出了万有引力定律，但当系统中增加第三个物体时，系统的复杂性显著增加，传统方法无法应对。拉格朗日发现了三体系统中的平衡点，但无法解决系统在长时间尺度下的整体稳定性问题。庞加莱证明了某些条件下，三体系统会出现不可预测的混沌行为。
李雅普诺夫函数为判断三体系统是否稳定提供了理论依据，但实际计算出一个系统的函数解非常困难。这项研究中，研究人员训练的序列到序列 Transformer 模型可以预测给定系统的李雅普诺夫函数，为解决三体问题提供了新的思路。
未来展望
这项研究表明，AI 在解决数学难题方面具有巨大潜力。随着 AI 技术的不断发展，我们可以期待 AI 在数学领域取得更多突破性进展，为人类解决更多未解之谜。
参考文献
*Global Lyapunov functions: a long-standing open problem in mathematics, with symbolic transformers. arXiv:2410.08304.
注： 本文参考了机器之心网站的报道，并进行了整理和补充。
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